Bertrand Russell и Alfred North Whitehead создали Principia Mathematica как фундаментальное произведение в области логики и основания математики. Эта масштабная работа, опубликованная в начале XX века, стремилась обосновать всю математику на логических основаниях, используя формальный язык символов и строгие доказательства. Несмотря на то, что в математике и философии многие считают Principia Mathematica неудачным с практической точки зрения проектом, её значение для логики и философии осталось непререкаемым. В современной эпохе технологий и автоматизированного доказательства формальное проверение таких классических трудов приобретает особое значение, позволяя не только глубже понять исторические работы, но и продемонстрировать надежность и структуру математических доказательств. Одним из интереснейших проектов в этой области является формализация первой тома Principia Mathematica с использованием Lean 4 — современного и мощного интерактивного теоретического доказателя, который набирает популярность в сообществе математики и компьютерных наук.
Lean 4 как инструмент для формализации математики предлагает гибкие средства для точного описания и проверки логических рассуждений. Проект по формализации Principia Mathematica в Lean 4 сосредоточен на том, чтобы повторить доказательства Рассела максимально детально и строго, избегая дополнений и упрощений, которые могут нарушить исходную логику автора. Автор проекта стремится к тому, чтобы каждый шаг формализации отображал точно то же, что и оригинальные доказательства, тем самым создавая прозрачную связь между классическим текстом и его цифровым воплощением. Одной из основных сложностей было воспроизведение уникальной нотации Principia Mathematica — известной своей сложностью и изысканностью. Эта нотация настолько специфична, что даже получила отдельную статью в Стэнфордской энциклопедии философии.
В проекте используются современные возможности Lean для интерпретации и представления этих символов в компьютерной системе подтверждения доказательств. При этом автор проекта признаёт, что изучение исторической нотации не является обязательным, так как для понимания достаточно сравнивать примеры формализации с оригиналом и видеть, как те или иные утверждения переводятся в язык Lean. Немаловажной деталью является создание уникальной тактики Syll, основанной на идеях Рассела с цепочкой логических прямых следствий. Эта тактика реализована в Lean с помощью метапрограммирования, что позволяет автоматически комбинировать несколько доказательств импликаций для получения сложных выводов из предварительных гипотез. Такой подход не только ускоряет работу с доказательствами, но и отражает стиль доказательства, применяемый Расселом — аккуратный и последовательный шаг за шагом.
В проекте также прилагаются LATEX-фрагменты с исходными доказательствами из Principia Mathematica, что помогает визуально соотнести компьютерную формализацию с текстом книги. Для разработчиков, использующих Emacs или VSCode, подобное параллельное отображение обеспечивает удобство сопоставления, облегчая обучение и восприятие сложных логических конструкций. Это подчёркивает образовательную и научную ценность проекта — возможность не только создавать формальные модели, но и учиться на основе классических работ. Автор проекта осознаёт, что подобная формализация не несёт прямой практической выгоды, например, для решения современных технических задач, но подчёркивает образовательное значение и уникальный опыт глубокого погружения в основы математики. Воплощение Principia Mathematica в Lean демонстрирует, насколько сложные и фундаментальные математические истины могут быть выражены и проверены с помощью современных технологий, создавая мост между классическими идеями и цифровым будущим науки.
Интересно отметить, что до этого существовала формализация Principia Mathematica на Coq — другом популярном доказательном помощнике. Однако переход на Lean 4 открывает новые возможности по удобству, гибкости и метапрограммированию, что обогащает опыт и вносит свежий взгляд на классическую тему. В проекте заложена база для дальнейших расширений — возможно, в будущем будет предпринята формализация других фундаментальных работ, например, трудов Alfred Tarski, что позволит создать комплексную цифровую библиотеку основ логики и математики. Проект опубликован в открытом доступе на GitHub, где собрана вся необходимая кодовая база: формализации теорем Principia Mathematica, вспомогательные инструменты, скрипты и документация. Это позволяет заинтересованным исследователям и разработчикам ознакомиться с подробностями, внести собственные поправки или использовать наработки для новых исследований.
Вместе с кодом хранится также PDF-версия оригинального первого тома Principia Mathematica, что даёт удобный доступ к первоисточнику. В заключение стоит отметить, что формализация Principia Mathematica с использованием Lean 4 — это не просто технический или академический проект. Это путешествие сквозь время и идеи, возможность взглянуть на мир математики глазами Рассела в XXI веке. Этот проект помогает осознать истинную силу формального доказательства, демонстрирует новое положение классической математики в эре цифровой науки и вдохновляет на дальнейшее изучение фундаментальных основ через инновационные цифровые технологии.
