В мире математики мы часто сталкиваемся с закономерностями и паттернами, которые кажутся настолько очевидными и непреложными, что возникает соблазн считать их вечными истинами. Однако история показывает, что главная особенность истинной науки и математики — это вечный поиск и готовность признавать, что любая закономерность может рано или поздно потерпеть крах. В статье 2018 года под названием «Patterns That Eventually Fail» («Паттерны, которые со временем перестают работать») мир был познакомлен с удивительным феноменом: некоторые сложные математические паттерны, доказанные или подтвержденные многими цифрами и вычислениями, вдруг начинают давать сбой после гигантского количества проверок. Чем это объясняется и почему такие паттерны появляются в математике? Давайте разберёмся. Начнём с классического примера, связанного с распределением простых чисел, а именно с функцией приближения количества простых чисел, не превышающих заданное число.
Известно, что функция интегральной логарифмы (li(x)) служит хорошим приближением к числу простых чисел меньше или равных x. Долгое время численные данные убеждали, что разница между li(x) и реальным количеством простых чисел всегда положительна — то есть li(x) всегда чуть больше чем π(x). Однако в начале XX века было доказано Джоном Литтлвудом, что разница меняет знак бесконечное количество раз: эта паттерн, казавшаяся очевидной, с бескрайним числом подтверждений, рано или поздно ломается, и функция π(x) начинает превосходить li(x). Интерес вызывает вопрос, где происходит первое «перекрёстное» отклонение. В 1933 году ученик Литтлвуда, Скиус, вычислил верхнюю границу такого первого значения x при условии верности гипотезы Римана, и позже же без этого допущения.
Эти границы были сверхогромными, далеко выходящими за пределы доступных для непосредственного вычисления чисел — это подчёркивает глубину и сложность вопроса. Сегодня благодаря современным методам анализ частных случаев немного приблизился к определённым числам, но точного места первого нарушения паттерна до сих пор не установлено. Переходя к менее глубоким, но всё равно увлекательным случаям, в 2018 году была представлена серия интегралов, тесно связанных с так называемыми интегралами Борвейна. Интегралы Борвейна — это особый класс интегралов с интегрируемыми функциями, заданными через произведения синусов с разными аргументами, часто выражаемые через функцию sinc и её модификации. Интересно, что независимые проверки показали, что серия интегралов, которые раньше считались равными определенному количеству, на самом деле выполняются лишь для ограниченного диапазона параметров, после чего паттерн внезапно нарушается.
Примером такого паттерна служит ряд интегралов вида ∫₀^∞ (sin(t)/t) × (sin(t/3)/(t/3)) × (sin(t/5)/(t/5)) × ... dt Где первые несколько интегралов равны π/2, но начиная с некоторого числа слагаемых это равенство перестаёт выполняться. Этот факт вызывает удивление и порождает вопросы о природе таких «временных» закономерностей.
Ключ к пониманию такой загадки даёт теория преобразований Фурье и свёрток. Рассмотрим функцию, представляющую собой прямоугольный импульс с определённой высотой и шириной. При последовательном применении к ней операций усреднения (среднего скользящего) с уменьшающейся шириной окна происходит постепенное «съедание» характерных особенностей функции, таких как ступени и плато. До определенного момента эти особенности сохраняются — это и обеспечивает тот самый паттерн. Однако когда сумма половин ширин окон усреднения превышает определённое значение, эти особенности исчезают полностью, и вместе с ними рушится целая система, построенная на них закономерностей.
Так, в объяснении Ханспетера Шмида, основанной на идеях Грега Игена, эта «эрозия» плато и симметричных ступеней полностью описывает, почему интегралы Борвейна сначала равны π/2, а потом перестают равняться этому числу. Таким образом, здесь становится понятен не просто факт нарушения паттерна, но и очевидная механика его постепенного разрушения. Интересно отметить, что подобные паттерны встречаются в работе с преобразованиями Фурье: произведение функций снизу по аргументу синуса переходит после преобразования в свёртку прямоугольных импульсов. Усреднение функции в окно с половинной шириной соответствует свёртке с прямоугольным импульсом, а последовательное применение таких операций уменьшает ширину «плато» в функции. Более того, Грег Эген и Ханспетер Шмид предложили расширения и вариации изначальной последовательности интегралов, что позволяет создать ещё более устойчивые паттерны, продолжающиеся на дольше, но также со временем угасающие.
Это очередной пример того, как глубокий анализ и понимание связанных областей математики (теория чисел, теория функций, преобразования Фурье) могут помочь объяснить кажущиеся загадочными закономерности. Правда, столь перспективные математические факты имеют свои последствия и в других областях науки. Они показывают, насколько важно внимательное отношение к доказательствам и экспериментальным данным, и что вопросы математики часто терпят шаткие границы между уверенностью и неожиданным исключением. Аналогично и в прикладных науках — модели, хорошо работающие при определённых условиях, могут полностью потерять применимость при изменении параметров. Способность распознавать такие «паттерны, которые со временем перестают работать» крайне важна и для математиков, и для физиков, и для инженеров.
Они служат напоминанием о том, что привычные истина никогда не бывает абсолютной — напротив, требуется всегда искать объяснения и границы применимости. Современные вычислительные методы позволяют тестировать гипотезы на огромных числах и сложных функциях, что помогает выявлять именно такие сбои в закономерностях. Вместе с тем, размер этих чисел может оказаться настолько большим, что напрямую проверить их практически невозможно, что подчёркивает роль теоретического мышления и абстрактных методов. В завершение стоит отметить, что поиск таких систем, которые долгое время ведут себя как «вечные», но потом ломаются, открывает перед исследователями новые горизонты для понимания структуры и глубинных связей в математике. Это не только красноречивое свидетельство богатства математического мира, но и вызов для будущих поколений ученых, чтобы идти дальше, за пределы известных паттернов и открывать неизвестное.
Таким образом, «Patterns That Eventually Fail» — это не просто рассказ о провалах закономерностей, а приглашение к осмысленности, вниманию и уважению перед красотой математики, которая постоянно эволюционирует, бросая вызов нашим ожиданиям и убеждениям.
