Головоломки из разряда логических игр всегда привлекают внимание не только любителей интеллектуальных задач, но и разработчиков, занимающихся исследованиями в области комбинаторной оптимизации и программирования с ограничениями. Одной из таких интересных головоломок является LinkedIn Queens, известная также под названием Star Battle. Этот пазл можно назвать развитием классической задачи о размещении ферзей на шахматной доске, но с рядом уникальных особенностей, делающих его решение нетривиальным и привлекательным для применения современных методов программирования. Для эффективного решения LinkedIn Queens применяют язык моделирования MiniZinc, который позволяет ясно формулировать задачу и экспериментировать с различными солверами. Описание игры LinkedIn Queens имеет свою специфику, которая отличает эту задачу от традиционной N-ферзей.
Суть состоит в расстановке квадратного количества ферзей — n на доску размером n на n, но с особенностями в правилах атаки и распределении по цветным областям доски. В отличие от классической версии, где ферзь атакует по диагоналям, вертикалям и горизонталям, здесь правила атаки представляют собой гибрид шахматных фигур: ферзь атакует все клетки в том же ряду и столбце (аналогично ладье), а также все прямо соседние клетки, как король. Таким образом, ограничения на расстановку ферзей осложняются необходимостью учитывать сразу несколько видов атакующих позиций. Кроме того, доска разделена на n связных областей, каждая из которых отмечена определённым цветом, и в каждой такой области должен находиться ровно один ферзь. Это добавляет дополнительные уникальные условия и увеличивает сложность.
Минизинк (MiniZinc) является языком моделирования, специально спроектированным для решения задач комбинаторной оптимизации и программирования с ограничениями. Он не является общим языком программирования, а ориентирован на лаконичное и понятное описание моделей, что особенно подходит для головоломок подобного рода. Благодаря MiniZinc можно создавать универсальные модели, которые затем решаются с помощью разнообразных солверов – от классических constraint programming решений до MIP и SAT-солверов. Этот подход значительно облегчает изучение задачи на разных уровнях, а также позволяет экспериментировать с производительностью и алгоритмическими стратегиями решения. Моделирование головоломки в MiniZinc начинается с определения основных параметров: размер доски, набор цветов и карта доски, задающая цветовые области.
Для представления задачи используется набор переменных, которые обозначают положение ферзя в каждой строке. Вместо представления всего поля как булевой матрицы с указанием наличия ферзя в каждой клетке, применён более компактный и эффективный подход – переменная для каждой строки, принимающая значение столбца, в котором располагается ферзь. Такой подход обеспечивает гарантированное размещение ровно n ферзей, по одному в каждой строке, и упрощает оформление ограничений на позиции. Одним из базовых ограничений является обеспечение уникальности столбцов, чтобы ферзи не находились друг над другом вертикально. В MiniZinc это реализуется с помощью конструкции all_different, обеспечивающей, что все выбранные значения переменных различны.
Далее для исключения атакующих позиций, связанных с соседством ферзей по горизонтали и вертикали, добавляется ограничение, гарантирующее, что ферзи в соседних строках не стоят в смежных столбцах. Это защищает от атак по соседним клеткам, которые имитируют движение короля, не позволяя ферзьям располагаться слишком близко друг к другу. Особое внимание уделяется ограничению, связанному с цветными зонами доски. Каждая зона представляет собой соединённую область цветовых клеток, и условие состоит в том, чтобы в каждой такой области находился только один ферзь. Это достигается через проверку цвета клетки, на которой находится ферзь в каждой строке, и применение ещё одного all_different к набору цветов, выбранных для всех ферзей.
Таким образом, гарантируется, что каждая цветовая зона используется ровно одним ферзем, что соответствует заданным правилам головоломки. Процесс решения в MiniZinc оформлен с помощью ключевого слова solve satisfy, указывающего системе найти хотя бы одно решение, удовлетворяющее всем ограничениям. Результат решения выводится в удобном формате, где доска визуализируется с символом "q" на местах ферзей и соответствующими обозначениями цветных клеток вокруг. Такой способ представления облегчает восприятие итогового результата и делает его доступным для быстрого анализа. MiniZinc открывает широкие возможности для выбора и тестирования различных солверов.
Одним из самых популярных является Gecode – традиционный солвер для constraint programming, который эффективно обрабатывает задачу LinkedIn Queens, находя решение за доли секунды. При этом можно визуализировать дерево поиска и проанализировать эффективность решения. Альтернативой служит OR-Tools CP-SAT от Google, солвер с несколькими стратегиями обработки, включая ленивое добавление клауз, что позволяет решать задачу быстро и практически без ошибок поиска. Важным достоинством MiniZinc является возможность легко переключаться между солверами, меняя лишь параметр запуска, без изменений в модели. Кроме классических CP-солверов, MiniZinc поддерживает работу с MIP-солверами, такими как HiGHS.
Использование MIP-солверов позволяет переводить задачу в формат смешанного целочисленного программирования и находить решение даже без необходимости обширного поиска, иногда обходясь всего одной нодой в дереве решений. Это делает решение более доступным для специалистов, привыкших к методам линейного программирования. Для повышения эффективности решения модели можно применять различные методы предобработки. Параметр -O5 в MiniZinc активирует расширенный этап оптимизаций, включая технику domain shaving, с помощью которой система пытается исключить невозможные варианты значений для переменных ещё до начала поиска, анализируя их индивидуально. Такая предобработка значительно сокращает время решение, иногда позволяя солверу справиться без единого шага поиска.
Однако стоит учитывать, что такая глубокая оптимизация требует дополнительных ресурсов и времени при компиляции модели. В итоге, задача LinkedIn Queens демонстрирует привлекательность и потенциал использования MiniZinc для моделирования и решения сложных логических и интеграционных головоломок. Благодаря сочетанию выразительного языка моделирования и возможности задействовать различные солверы, данное решение служит отличной практикой для изучения программирования с ограничениями, а также для разработки новых методов оптимизации. Несмотря на относительную простоту представленной задачи, усложнение доски, увеличение размеров и появление новых правил приводят к значительному росту вычислительной сложности. Сравнение подходов SAT, SMT и CP может выявить преимущества каждого метода в зависимости от конкретного варианта задачи, и MiniZinc становится универсальным инструментом для проведения таких экспериментов.
Пользователи могут гибко расширять модель, улучшать ограничения и применять поисковые стратегии, что содействует развитию навыков и углубленному изучению предмета. Таким образом, применение MiniZinc для решения головоломки LinkedIn Queens становится образцом эффективного подхода к комбинаторным задачам. Четкость и читаемость модели, а также простой доступ к различным решателям делают данный инструмент незаменимым для исследователей, разработчиков и энтузиастов логических игр. Разработка и анализ таких решений стимулируют совершенствование алгоритмов и способствуют продвижению области программирования с ограничениями в целом.
