Числа Фибоначчи занимают важное место в математике, программировании и теории алгоритмов. Классическая последовательность, где каждое последующее число равно сумме двух предыдущих, встречается во многих областях, от анализа алгоритмов до биологических моделей. В последние годы благодаря развитию аппаратного обеспечения и технологий параллельного вычисления появилась возможность значительно ускорить расчет таких последовательностей, используя графические процессоры (GPU). Однако стоит разобраться, каким образом и почему GPU способен решать задачи вычисления чисел Фибоначчи гораздо эффективнее, а также понять, какие инструменты делают процесс программирования проще и доступнее. Одним из таких инструментов является библиотека Thrust от NVIDIA, обеспечивающая удобный интерфейс для параллельных вычислений, использующая современные возможности языка C++ и позволяющая создавать мощные вычислительные алгоритмы, применимые в задачах различной сложности.
Основополагающим понятием, на котором базируется предложенный метод, является операция скана или префиксной суммы – разновидность параллельного алгоритма, который преобразует последовательность элементов так, что каждый выходной элемент представляет собой аккумулированный результат применения ассоциативной операции к подмножеству входных элементов. Применение операции скана можно рассматривать как обобщение суммирования, произведения и прочих ассоциативных бинарных операций, что открывает широкие возможности для вычислений на GPU. В контексте вычисления чисел Фибоначчи такой подход задействует выражение чисел последовательности через матричное умножение так называемой матрицы Q, содержащей в себе структуру рекуррентности ряда. В частности, известно, что возведение матрицы Q в степень n соответствует n-му числу Фибоначчи, что позволяет заменить последовательное вычисление рекуррентных значений на операцию последовательного перемножения матриц. Платформа CUDA и библиотека Thrust легко справляются с оптимизацией вычислений матричных операций на GPU благодаря распределению вычислительной нагрузки на тысячи потоков, работающих параллельно.
Thrust предлагает функционал управляемых векторных контейнеров и готовых алгоритмов, среди которых и операция exclusive_scan – эксклюзивный скан, применяющий бинарный оператор к элементам массива для создания выходного массива префиксных результатов. Используя скан с операцией умножения матриц, можно эффективно вычислить ряд чисел Фибоначчи путем преобразования задачи в параллельное перемножение множества матриц Q. В практике это выглядит следующим образом: создается вектор матриц Q, длиной равной количеству чисел, которые нужно вычислить, затем запускается exclusive_scan с бинарной операцией, реализованной как функция умножения 2х2 матриц. Начальное значение скана задается в виде единичной матрицы, что обеспечивает корректный аккумулятивный подсчет степеней матрицы Q. В результате работы алгоритма на выходе получается последовательность матриц, содержащих искомые числа Фибоначчи, извлекаемые из специальных элементов этих матриц.
Такой подход не только демонстрирует элегантность и математическую глубину, но и использует всю мощь параллельных вычислений за счет эффективного распараллеливания операции мultiplikatsii множества матриц на GPU. Еще один важный аспект – обработка больших чисел, которая часто становится проблемой в вычислениях Фибоначчи, поскольку значения растут экспоненциально. Для предотвращения переполнения и сохранения вычислительной эффективности предложен способ расчета по модулю некоторого числа. Эта деталь позволяет получить корректные остатки от деления больших чисел Фибоначчи, а значит, практические значения даже для экстремально больших индексов, таких как F(99999999). Благодаря высокой производительности, GPU с библиотекой Thrust позволяет выполнить такую сложную операцию на бытовой видеокарте, например NVIDIA GeForce RTX 3060 Mobile, за считанные миллисекунды, что было бы практически невозможно на классическом процессоре.
Опыт реализации и тестирования кода подтверждает точность и корректность метода, что было проверено через сравнение с вычислениями в Wolfram Alpha. Уникальность метода состоит также в использовании lambda-функций для описания операции перемножения матриц, что значительно упрощает и ускоряет разработку параллельных алгоритмов. Такой современный стиль программирования способствует созданию более компактного и гибкого кода, который можно адаптировать под разные задачи помимо вычисления Фибоначчи. Пользователи, которым интересны глубокие знания алгоритмических основ, могут обратить внимание на работы Гая Блеллоха, который стоял у истоков идеи использования операций скана для реализации высокопроизводительных параллельных вычислений. На практике использование этих техник показывает, насколько востребованным оказался подобный подход в контексте GPU-программирования и научных расчетов.
