В мире абстрактной алгебры одним из самых фундаментальных и простых понятий является магма. Несмотря на свою кажущуюся элементарность, она играет важную роль в понимании более сложных алгебраических структур и демонстрирует разнообразие свойств бинарных операций. Магма представляет собой множество, на котором определена одна бинарная операция, при этом результат этой операции всегда принадлежит самому множеству. Это называется свойством замкнутости и именно оно отличает магму от более общих установок без ограничений. Исторически термин «группаод» был введён в 1927 году Генрихом Брандтом для описания определённого типа алгебраических структур.
Однако в более поздних работах, начиная с 1937 года, математические исследователи Б. А. Хаусманн и Ойстейн Оре использовали этот термин в ином значении, обозначая им множества с бинарной операцией, то есть то, что сейчас известно как магма. Такая размытость терминов вызвала определённые споры в математическом сообществе, поскольку «группаод» в теории категорий описывает карегорию, в которой все морфизмы обратимы — совершенно другой объект изучения. Чтобы избежать путаницы, в 1965 году Жан-Пьер Серр предложил использовать термин «магма» для множества с замкнутой бинарной операцией без дополнительных требований, таких как ассоциативность или наличие нейтрального элемента.
В дальнейшем этот термин получил широкое распространение, в том числе благодаря авторитетным трудам группы Борбаки и современным книгам по универсальной алгебре. Определение магмы крайне простое, но оно оставляет огромный простор для исследования. Формально магма — это множество M вместе с бинарной операцией «•», такой что при любых элементах a и b из M результат a • b также принадлежит M. В таких структурах не обязательно соблюдается ассоциативность, коммутативность или наличие нейтрального и обратимых элементов. Магма — основа для построения более сложных структур, таких как полугруппы, моноиды, группы и квазигруппы.
Особое внимание уделяется морфизмам магм. Морфизм магм — это отображение из одной магмы в другую, которое сохраняет бинарную операцию. То есть для любого элемента x и y из первой магмы справедливо, что образ операции x • y равен операции в образах элементов, то есть f(x • y) = f(x) * f(y), где «*» — бинарная операция во второй магме. Примером такого морфизма может служить логарифм, связывающий магму положительных вещественных чисел с операцией геометрического среднего с магмой вещественных чисел с операцией арифметического среднего. Несмотря на то, что оба типа операций не ассоциативны и не имеют нейтральных элементов, морфизм успешно сохраняет структуру.
Записывание элементов магмы и их операций сопровождается сложностями из-за отсутствия ассоциативности, что требует точного обозначения порядка выполнения операций. В связи с этим используются различные способы записи: инфиксная с расстановкой скобок, префиксная и постфиксная нотации. Такая возможность отражает связь магмы с комбинаторикой и теорией грамматик, в частности с так называемым языком Дика, который описывает сбалансированные строки скобок. Количество вариантов расстановки скобок для n применений бинарной операции связано с числом Каталана — важной комбинаторной константой. Число всех возможных магм с фиксированным количеством элементов экспоненциально растёт и для множества из n элементов достигает n^(n^2), что показывает невероятное разнообразие таких структур.
При этом классическое исследование идентифицирует и количество магм с учетом изоморфизмов и антиизоморфизмов, что важно для классификации. Особое место занимает понятие свободной магмы, построенной над данным множеством X. Свободная магма содержит все возможные комбинации элементов множества с сохранением расстановки скобок, то есть все возможные неассоциативные слова. Это позволяет рассматривать свободную магму как фундаментальный источник всех магм, поскольку любой морфизм с X в произвольную магму N расширяется единственным образом до морфизма свободной магмы M_X в N. С точки зрения компьютерных наук свободная магма эквивалентна структуре полных бинарных деревьев с листьями, обозначенными элементами из X.
Разновидности магм обусловлены введением дополнительных аксиом. В зависимости от предъявляемых требований появляются полугруппы, моноиды, группы, квазигруппы, петли и другие структуры. Коммутативность, ассоциативность, наличие нейтрального элемента и обратимых элементов приводят к существенно разным свойствам и областям применения. Некоторые алгебраические свойства получены путем установки определённых тождеств, таких как идемпотентность (xx = x), альтернативность и распределительность. Изучение более узких классов магм ведёт к пониманию фундаментальных понятий алгебры — например, семигруппы включают ассоциативность, а группы включают ещё и нейтральный элемент и обратные элементы.
Полугруппы важны при изучении автоматов, языков и моделей вычислений, а группы — в геометрии, математической физике, теории чисел и криптографии. В математической теории категорий магмы представлены категорией Mag, где объекты — магмы, а морфизмы — гомоморфизмы магм. Эта категория обладает рядом полезных свойств, таких как существование прямых произведений и полнота. Магмы можно рассматривать также как алгебраические объекты с универсальной собственностью, что связанно с построениями колимитов и расширением эндоморфизмов. Дальнейшее изучение магм и связанных с ними структур вдохновляет развитие универсальной алгебры и других отраслей современной математики.
