В области топологии особо важным понятием является идея того, что две формы можно считать одинаковыми, если между ними существует непрерывное взаимно обратимое отображение — гомеоморфизм. Оно обеспечивает сохранение топологической структуры, позволяя без разрывов и склеиваний «деформировать» одну фигуру в другую. Однако в некоторых задачах, где интересует лишь количество и тип «отверстий» в фигурах, гомеоморфизм оказывается слишком строгим условием. Для изучения глубинных свойств формы вводится более гибкое понятие - гомотопическая эквивалентность, а еще более мягкое — слабая гомотопическая эквивалентность. Гомотопическая эквивалентность позволяет рассматривать две топологические пространства как эквивалентные, если существует пара непрерывных функций между ними, чьи композиции не обязательно совпадают с тождественными отображениями, но могут быть непрерывно деформированы в них.
Такие деформации называются гомотопиями и позволяют «анимировать» переходы между функциями, заменяя строгую эквивалентность на эквивалентность с точностью до непрерывных преобразований. Это позволяет, например, считать окружность и тор, обладающие разным числом дыр, разными с точки зрения гомотопии, но считать любые контрактабельные пространства однородными с точки зрения «деформационной» структуры. Классическим примером гомотопической эквивалентности служит сравнение точки и прямой. Очевидно, что точка и прямая не согласуются по гомеоморфизму — они имеют разную размерность, а один элемент не может быть взаимно однозначно соответствовать бесконечному множеству. Тем не менее, достаточно ввести постоянные функции между ними: из точки в точку на прямой и обратно.
Композиция одного направления равна тождеству на точке, а композиция в обратную сторону — это константная функция на прямой, которая не равна тождественному отображению, но гомотопична ему через непрерывный переход от любого значения к константе. Это пример, иллюстрирующий понятие контрактильности: такая топология считаются «сводимыми» к точке по гомотопическим мерам. Дальнейшее развитие понятия формирует структуру, которая позволяет исследовать не только объекты, но и пути между ними. Рассмотрим множество всех путей в топологическом пространстве, где пути — это непрерывные отображения от единичного интервала в пространство. Путям с одинаковыми начальной и конечной точками можно сопоставить классы эквивалентности по гомотопии, что приводит к конструкции фундаментальной группы, если рассевать внимание на петли — пути, начинающиеся и заканчивающиеся в одной точке.
Это важный алгебраический объект, позволяющий «видеть» отверстия и более сложные отверстия внутри пространства через свойства этих групп. Фундаментальная группа окружности, например, изоморфна группе целых чисел по сложению. Здесь число соответствует количеству оборотов петли вокруг окружности, что отражает топологическую инвариантность. В этом смысле два пространства, которые гомотопически эквивалентны, должны иметь изоморфные фундаментальные группы, потому что иначе они бы имели разную дырчатость. Переходя к более высоким размерностям, появляется понятие n-й гомотопической группы — группы, которые исследуют возможности «сжать» n-мерные сферы внутри пространства.
Это позволяет выявить более сложные топологические структуры, невозможно уловимые только через петли и фундаментальную группу. Например, пространство с выдолбленным внутри телом Земли может восприниматься по-разному с точки зрения одномерных и двумерных гомотопий, что отражает различие в структуре отверстий и полостей более высоких размерностей. При всей мощности гомотопической эквивалентности существует еще более тонкая градация между пространствами — слабая гомотопическая эквивалентность. Она вводится во избежание сильных ограничений сильной гомотопической эквивалентности и определяет равенство пространств именно по изоморфизму всех их гомотопических групп, без необходимости существования непрерывных деформаций, связывающих отображения напрямую. Слабая гомотопическая эквивалентность особенно важна в алгебраической топологии и теории категорий, прежде всего благодаря своей роли в построении модели категорий и систем факторизации.
В частности, она участвует в создании модели Куилена — структуры, позволяющей подходить к изучению топологических пространств со стороны теории моделей и обобщать понятия эквивалентности и фибраций. Это приближает топологию к языку и механизмам современной алгебраической теории и категорного подхода, открывая новые горизонты для анализа сложных структур. Важная работа в этом направлении принадлежит Александру Гротендику, который сделал предположение о том, что бесконечная группа-группа (или бесконечная группа, о которой можно думать как о структуре, включающей пути, поверхности, объемы и дальше в бесконечность) полностью отражает всю информацию о топологическом пространстве с точностью до слабой гомотопической эквивалентности. Такое представление создает мощный мост между топологией и обобщенными алгебраическими структурами, оказывая глубокое влияние на развитие как теоретической топологии, так и формальной теории типов и гомотопической теории типов (HoTT). Таким образом, слабые гомотопические эквивалентности являются основой для систематического и точного понимания топологических свойств, которые затрагивают не только сами объекты, но и непрерывные преобразования между ними, их обобщения и глобальную структуру пространства.
Эти понятия лежат в основе современной топологии и связывают ее с передовыми областями математики и логики.
