XOR — это один из тех операторов в программировании, которые, казалось бы, просты на поверхности, но обладают потенциалом для решения целого ряда непростых задач. Знания о нем зачастую помогают писать более эффективные и элегантные алгоритмы, особенно для поиска пропущенных или дублирующихся элементов в массивах чисел. Несмотря на то, что использовать XOR в сложных задачах интервью кажется не совсем очевидным и часто воспринимается как трюк, понимание его основ и механизма работы открывает двери к оригинальным подходам в программировании. Этот логический оператор основан на исключающем «или» — он возвращает 1, только если один из битов равен 1, а другой 0, и 0 в остальных случаях. В результатах применения XOR к битам действует правило: если заряд совпадает, результат обнуляется, если отличается — остается единицей.
Благодаря этой особенности он обладает уникальными свойствами, которые лежат в основе целого ряда полезных алгоритмов. Одно из главных свойств — это то, что любое число, ^-которое XOR-ится само с собой, становится нулём, а XOR нуля с числом возвращает само число. Кроме того, операция XOR коммутативна, то есть порядок аргументов не влияет на результат. Эта история напоминает своеобразную «отмену» пар одинаковых элементов, когда каждый повторяющийся элемент в пределах последовательности привносит в итоговый результат нейтральность, и в конечном счете остается только то, что не имеет пары. Как же этот трюк помогает в решении конкретных задач? Одна из классических проблем — найти недостающее число в массиве, содержащем числа в диапазоне от 1 до n, где отсутствует ровно один элемент.
Традиционные методы сводятся либо к подсчету суммы и вычитанию известных элементов — что может привести к проблемам переполнения — либо к использованию вспомогательных структур данных. Однако, применяя свойство XOR, можно обойтись без дополнительной памяти и сделать решение более надёжным. Для этого берут XOR от всех чисел от 1 до n и последовательно «складывают» с помощью XOR все элементы массива. Из-за того, что у каждого элемента, присутствующего и в последовательности, и в массиве, есть пара, их значения взаимно уничтожаются, оставляя на выходе отсутствующий элемент как единственный, не имеющий пары. Ещё более изящное применение XOR встречается в задаче, когда необходимо найти дублирующийся элемент в массиве из n + 1 элемента, где все элементы от 1 до n встречаются ровно один раз, кроме одного, который дублируется.
Применяя тот же трюк с XOR, все пары уникальных чисел обратно уничтожаются, а число, появленное трижды, за счёт тройной операции XOR, эффективно сводится к самому себе. Трёхкратное XOR числа само с собой и с ещё одним экземпляром равняется самому числу — это как раз из-за свойства, где пара элементов взаимно обнуляет часть результата, а оставшееся — искомое число. Хотя методы, основанные на арифметических операциях суммирования и вычитания, тоже решают подобные задачи, в них часто возникает риск ошибок из-за переполнения, а также необходимость обработать отдельные случаи. XOR же работает на побитовом уровне, не зависит от границ числовых типов и часто быстрее, что делает его привлекательным для оптимизации. Ещё более сложны варианты, когда в массиве отсутствуют либо дублируются два числа одновременно.
Здесь простой XOR трюк уже не исчерпывает решения напрямую, так как итоговое XOR-значение содержит комбинацию двух неизвестных чисел. Однако ключ к разбиению проблемы лежит в анализе бинарного представления этого значения. Найдя первую из позиций, где XOR двух неизвестных чисел равен 1, можно разделить исходный набор и массив по битовому признаку так, чтобы одно из чисел попало в одну группу, а другое — в другую. После этого применяя схему по отдельности к каждой группе, удается раскрыть оба искомых значения, сводя сложную задачу к последовательности более простых XOR-операций и делений на подмножества. Значимость XOR в программировании трудно переоценить.
Этот оператор становится ценным инструментом не только для низкоуровневой битовой обработки, но и для решения классических и нестандартных задач в алгоритмах. Зная, как и почему построен трюк с XOR, программисты обретают способ видеть структуру данных, которую иначе сложно заметить. Далее XOR служит базой для эффективных и компактных алгоритмов, которые обладают низкой сложностью по памяти и времени исполнения. Тем не менее, стоит отметить, что задачи, основанные на знании XOR, иногда вызывают вопросы на интервью именно из-за своей редкости и специфики. Без понимания свойств этого оператора решения кажутся волшебными и непонятными.
