Теорема Найквиста-Шеннона занимает центральное место в теории и практике цифровой обработки сигналов. Ее суть заключается в том, что для корректной выборки и последующего восстановления сигнала необходимо дискретизировать его с частотой, не меньшей чем в два раза превышающей максимальную частоту, содержащуюся в сигнале. Эта минимальная частота дискретизации, известная как частота Найквиста, обеспечивает сохранение всей информации, заложенной в непрерывном сигнале, и предотвращает явление, называемое алиасингом, когда высокочастотные компоненты искажаются и накладываются на низкочастотные при недостаточной скорости выборки. Появление цифровой обработки сигналов и последующий рост вычислительных мощностей поставили перед инженерами задачу эффективного преобразования аналоговых сигналов в цифровую форму. Сигналы реального мира, такие как звук, изображение и радиоволны, имеют непрерывные значения во времени и пространстве.
Для их оцифровки необходима дискретизация - выборка значений сигнала через равные интервалы времени. Теорема Найквиста-Шеннона формирует теоретическую основу, объясняя, как часто нужно брать эти пробы, чтобы не потерять информацию, а значит, иметь возможность восстановить исходный аналоговый сигнал с высокой точностью. Теоретическая формулировка утверждает, что если сигнал обладает конечной полосой частот, то есть отсутствуют компоненты с частотами, превышающими некоторое значение B, то достаточно снимать отсчеты с частотой Fs, которая больше либо равна 2B, чтобы обеспечить уникальную возможность восстановления сигнала. Это условие называют критерием Найквиста. Поскольку цифровые системы имеют конечную пропускную способность, фильтрация сигнала перед выборкой играет ключевую роль: антиизображающий фильтр или фильтр предотвращения алиасинга убирает высокочастотные компоненты, которые иначе наложились бы на полезный диапазон частот и исказили бы данные.
Важно понимать, что теорема справедлива строго для теоретических сигналов с жесткой полосой пропускания. В реальных условиях сигнал может содержать компоненты с частотами выше установленного предела, что ведет к появлению ошибок при реконструкции. В таких случаях применяются дополнительные методы обработки, включая аппроксимацию sinc-интерполяции и использование фильтров с плавными характеристиками. Реальные цифровые-аналоговые преобразователи не могут воспроизвести идеальный импульсный отклик в форме функции sinc, поэтому несмотря на теоретическую возможность, на практике используются приближенные решения с некоторой степенью погрешности. Значение теоремы Найквиста-Шеннона выходит за рамки одномерных сигналов времени.
В обработке изображений и видео, где сигнал представляется как функция от пространства, те же принципы применяются к пространственной дискретизации, то есть к разрешению цифровой картинки. Неправильный выбор частоты выборки в пространственной области приводит к появлению так называемых муаровых узоров, которые являются проявлением алиасинга, искажающими визуальное восприятие. Использование оптических и цифровых фильтров подавляет эти эффекты, что особенно важно в высококачественной фотосъемке и видеосистемах. Исторически виток к формулировке теоремы сделал физик и инженер Гарри Найквист в 1928 году, изучая передачу телеграфных сигналов. Далее работа была продолжена и формализована Клодом Шенноном в 1940-х годах, который дал математическое доказательство и применил теорию к цифровой связи и обработке сигналов.
Тем не менее, отдельные части теории были рассмотрены и описаны до этого времени, например, Эдмундом Уиттекером и Владимиром Котельниковым, чьи работы также оказали влияние на развитие концепции. В русской научной традиции теорема часто носит имя Котельникова. Практическое применение теоремы касается всей современной электроники, от аудиозаписи и воспроизведения сигналов до телекоммуникаций и обработки изображений. Например, стандартная частота дискретизации аудио CD равна 44,1 кГц, что обусловлено верхней границей слышимого человеком звука около 20 кГц. Такой выбор обеспечивает сохранение всех звуковых деталей без искажений.
В цифровой видеообработке ширина полосы необходимого частотного спектра определяет разрешение и частоту кадров, обеспечивающие качественное изображение без артефактов. Современные методы позволяют в некоторых случаях обойти ограничение классической теоремы. Развивающаяся область сжатия с учетом разреженности спектра сигнала, известная как сжатое восприятие, позволяет восстанавливать сигнал с выборкой ниже частоты Найквиста, используя принципы оптимизации и дополнительную информацию о характере сигнала. Такой подход требует сложных алгоритмов реконструкции и вычислительных ресурсов, но демонстрирует возможность более эффективного использования данных для систем с ограниченными ресурсами. Таким образом, теорема Найквиста-Шеннона неизменно остается фундаментальным инструментом в понимании и реализации цифровых систем обработки сигналов.
Она формирует основу для выбора параметров дискретизации и фильтрации, гарантируя, что цифровые представления сигналов сохраняют всю необходимую информацию для их корректного восстановления и анализа. Знание принципов и ограничений теоремы является обязательным для инженеров, работающих в области связи, аудио- и видеотехнологий, медицинской визуализации и многих других сфер, где обработка цифровых сигналов играет решающую роль. .
