В течение более века шестая проблема из списка знаменитых задач Давида Гильберта оставалась одной из самых сложных и загадочных в математической и физической науке. Ее суть заключалась в необходимости «аксиоматизации» физики — определении минимального набора математических предпосылок, на которых строятся все фундаментальные теории физики. Хотя сама формулировка проблемы звучит достаточно абстрактно и глобально, одним из ее конкретных направлений стала попытка обосновать и связать между собой различные уровни описания движения жидкости и газа. Совсем недавно математики Юй Дэнг, Захер Хани и Сяо Ма совершили прорыв, сумев связать воедино три теории, каждая из которых описывает движение жидкости и газа с разной степенью приближения и детализации. Их работа, опубликованная в пред-печатном архиве arXiv, может стать значительным шагом вперед в решении шестой проблемы Гильберта и закрепить математический фундамент для ряда важных физических теорий.
Для понимания масштабов открытия важно рассмотреть три уровня описания жидкостей, каждый из которых использует собственные уравнения и модели. На микроуровне жидкости рассматриваются как совокупность огромного числа частиц — своеобразных «бильярдных шариков», которые двигаются и сталкиваются друг с другом согласно законам Ньютона. Этот детальный подход, несмотря на свою фундаментальность, является чрезвычайно сложным и неудобным для практического анализа из-за огромного числа взаимодействий. Переход к мезоскопическому уровню позволяет избавиться от изучения каждого отдельного столкновения. Здесь уже применяется статистический подход, который впервые воплотил Людвиг Больцман в 1872 году через свой знаменитый уравнение Больцмана.
Вместо отслеживания каждой частицы уравнение описывает поведение типичной частицы и обобщает динамику газа или жидкости, позволяя рассчитывать такие параметры, как импульс и теплопроводность, на основе вероятностных характеристик. Еще дальше находится макроскопический уровень, который рассматривает жидкость как сплошное однородное вещество без привязки к отдельным частицам. Для описания на этом уровне традиционно используют уравнения Эйлера и Навье-Стокса, которые успешно применяются во многих областях — от аэродинамического проектирования самолётов до прогнозирования погоды. Теоретически между этими тремя уровнями должна быть логическая и математическая связь: более крупные масштабы моделируются как следствие процессов на более мелких. Это означает, что макроскопические уравнения должны вытекать из мезоскопического уравнения Больцмана, а оно, в свою очередь, должно основываться на фундаментальных законах Ньютона, управляющих отдельными частицами.
Именно такую цепочку переходов и предлагал доказать Гильберт в своей шестой проблеме для обеспечения целостности физической теории. Долгое время попытки строго вывести уравнение Больцмана из законов Ньютона сталкивались с серьезными математическими трудностями. Одной из главных проблем было ограничение их доказательств лишь малыми временными интервалами, в то время как реальные жидкости течут достаточно продолжительные периоды, и на их поведение влияет множество последовательных столкновений и взаимодействий. Теперь же, благодаря трудам Дэнга, Хани и Ма, удалось преодолеть этот барьер и расширить математическую модель на большие временные масштабы. Ключевым моментом стало то, что они сумели доказать сходимость поведения множества частиц, движущихся согласно законам Ньютона с бесконечно большим числом столкновений, к решению уравнения Больцмана.
Иными словами, при бесконечном увеличении числа малых частиц со все уменьшающимся размером коллективное поведение частиц в итоге соответствует статистической картине, описываемой уравнением Больцмана. Это обеспечивает прочный мост между микро- и мезоскопическим уровнями. Отдельно нужно отметить роль новых математических методов, разработанных для учета истории взаимодействий частиц на больших временных интервалах. Эти методы позволили показать, что влияние прошлого взаимодействия частиц на их текущие параметры не накапливается до бесконечности, а остается контролируемым и ограниченным. Это давало возможность избежать распространенной в таких задачах сложности, связанной со «запутыванием» сигналов от множества столкновений.
Объединив данный результат с уже известными сведениями о том, как из уравнения Больцмана выводятся макроскопические уравнения Эйлера и Навье-Стокса, ученые получили полное доказательство связи между всеми тремя уровнями описания течения жидкости. Их работа стала знаменательным шагом в выполнении программы Гильберта, направленной на формальное обоснование физики через математику. Практическое значение этого достижения сложно переоценить. Оно не только укрепляет теоретическую базу в понимании динамики жидкостей и газов, что чрезвычайно важно для инженерных и научных приложений, но и открывает новые перспективы для аналогичных исследований в других разделах физики. Например, подобные методы и принципы могут быть применены к задачам квантовой механики, статистической физики и даже космологии, где требуется строгая связь между различными масштабами описания.
Помимо фундаментального интереса, результаты также повышают доверие к существующим моделям и расчетам. Многие отрасли, от аэрокосмической индустрии до климатологии, широко применяют уравнения Навье-Стокса и уравнение Больцмана, опираясь на предположения, которые до сих пор не были полностью подтверждены с математической точки зрения. Теперь эти предположения имеют надежное обоснование, что повышает надежность и точность используемых методик. Стоит отметить, что вход к сдаче задачи был построен на десятилетиях предыдущих исследований и частичных успехов, но именно инновационные подходы к учету многократных взаимодействий и влияния времени позволили сделать рывок вперед. Этот пример отражает суть научного прогресса: постепенное наращивание знаний и инструментов, которые в итоге позволяют решить, казалось бы, неразрешимую проблему.
В целом, работа Дэнга, Хани и Ма — это не просто завершение части плана Гильберта, это шаг к тому, чтобы вся физика стала истинной математической дисциплиной, где каждая теория строго обоснована и вытекает из базовых законов природы. Такой подход позволяет конструктивно строить новые теории и проверять существующие, помогая расширять горизонты человеческих знаний о Вселенной. С учетом того, что решение этой задачи пришло через 125 лет после презентации шестой проблемы Гильберта, можно лишь представить, какие открытия ждут нас в будущем с использованием подобных математических методов. Возможно, вскоре будут решены и другие задачи из списка Гильберта, которые стали символами вызова для ученых всего мира. Таким образом, объединение трех основных теорий движения жидкости и газа — от микроскопического через мезоскопический до макроскопического уровней — является важной вехой в развитии не только физики и математики, но и смежных наук и технологий.
Новый фундамент для изучения природных явлений, основанный на строгом математическом доказательстве, обещает подтолкнуть науку к новым вершинам, которые всегда манили исследователей и мечтателей.
